Як обчислюють обсяг піраміди?

Слово «піраміда» мимоволі асоціюється з величними велетнями в Єгипті, вірно зберігають спокій фараонів. Може бути тому піраміду як геометричну фігуру безпомилково впізнають всі, навіть діти.

Тим не менш, спробуємо дати їй геометричне визначення. Уявімо на площині кілька точок (А1, А2, ..., Ап) і ще одну (Е), що не прінадлежайшую їй. Так от, якщо точку Е (вершину) з'єднати з вершинами багатокутника, утвореного точками А1, А2, ..., Ап (підстава), вийде багатогранник, який і називають пірамідою. Очевидно, що вершин у багатокутника в основі піраміди може бути скільки завгодно, і залежно від їх кількості піраміду можна назвати трикутної і чотирикутної, п'ятикутною і т.д.

Якщо уважно придивитися до піраміди, то стане ясно, чому її визначають ще й по-іншому - як геометричну фігуру, що має в основі багатокутник, а в якості бічних граней - трикутники, об'єднані загальною вершиною.

Оскільки піраміда - просторова фігура, то і в неї є така кількісна характеристика, як обсяг. Обсяг піраміди обчислюють за добре відомою формулою обсягу, рівного третини твори основи піраміди на її висоту:

Обсяг піраміди при виведенні формули спочатку розраховується для трикутної, взявши за основу постійне співвідношення, що зв'язує цю величину з об'ємом трикутної призми, що має той же основу і висоту, яка, як виявляється, в три рази перевищує цей обсяг.

А оскільки будь-яка піраміда розбивається на трикутні, і її обсяг не залежить від виконуваних при доказі побудов, правомірність наведеної формули об'єму - очевидна.

Окремо серед усіх пірамід стоять правильні, у яких в основі лежить правильний багатокутник. Що ж стосується висоти піраміди , то вона повинна «закінчуватися» в центрі підстави.

У разі неправильного багатокутника в підставі для обчислення площі підстави потрібно:

• розбити його на трикутники і квадрати;

• підрахувати площа кожного з них;

• скласти отримані дані.

У разі правильного багатокутника в основі піраміди, його площа розраховують за готовими формулами, тому обсяг правильної піраміди обчислюється зовсім просто.

Наприклад, щоб обчислити об'єм чотирикутної піраміди, якщо вона правильна, зводять довжину сторони правильного чотирикутника (квадрата) в основі в квадрат і, помноживши на висоту піраміди, ділять отримане твір на три.

Обсяг піраміди можна обчислити, використовуючи й інші параметри:

• як третину твору радіусу кулі, вписаного в піраміду, на площу її повної поверхні;

• як дві третини твори відстані між двома довільно взятими перехресними ребрами і площі паралелограма, який утворюють середини решти чотирьох ребер.

Обсяг піраміди обчислюється просто і у випадку, коли його висота збігається з одним з бічних ребер, тобто у разі прямокутної піраміди.

Говорячи про піраміди, не можна обійти увагою також усічені піраміди, отримані перетином піраміди паралельної підставі площиною. Їх обсяг практично дорівнює різниці обсягів цілої піраміди і відсіченою вершини.

Першим обсяг піраміди, правда не зовсім в його сучасному вигляді, проте рівним 1/3 об'єму відомої нам призми, знайшов Демокріт. Його метод підрахунку Архімед назвав «без докази», оскільки Демокріт підходив до піраміди, як до фігури, складеної з нескінченно тонких, подібних пластинок.

До питання знаходження об'єму піраміди «звернулась» і векторна алгебра, використовуючи для цього координати її вершин. Піраміда, збудована на трійці векторів a, b, c, дорівнює одній шостій від модуля змішаного твори заданих векторів.