Правильний багатокутник. Число сторін правильного багатокутника

Трикутник, квадрат, шестикутник - ці фігури відомі практично всім. Але от про те, що таке

правильний багатокутник, знає далеко не кожен. Але ж це все ті ж геометричні фігури. Правильним багатокутником називають той, що має рівні між собою кути і сторони. Таких постатей дуже багато, але всі вони мають однакові властивості, і до них застосовні одні й ті ж формули.

Властивості правильних багатокутників

Будь правильний багатокутник, будь то квадрат або Октагон, може бути вписана в коло. Це основна властивість часто використовується при побудові фігури. Крім того, окружність можна і вписати в багатокутник. При цьому кількість точок дотику буде дорівнювати кількості його сторін. Важливо, що окружність, вписана в правильний багатокутник, матиме з ним спільну центр. Ці геометричні фігури підпорядковані одним теорем. Будь-яка сторона правильного n-кутника пов'язана з радіусом описаного навколо нього кола R. Тому її можна обчислити, використовуючи наступну формулу: а = 2R • sin180 °. Через радіус кола можна знайти не тільки сторони, але і периметр багатокутника.

Як знайти число сторін правильного багатокутника

Будь правильний n-кутник складається з деякого числа рівних один одному відрізків, які, з'єднуючись, утворюють замкнену лінію. При цьому всі кути утворилася фігури мають однакове значення. Багатокутники діляться на прості і складні. До першої групи належать трикутник і квадрат. Складні багатокутники мають більше число сторін. До них також відносять зірчасті фігури. У складних правильних багатокутників сторони знаходять шляхом вписування їх в коло. Наведемо доказ. Накресліть правильний багатокутник з довільним числом сторін n. Опишіть навколо нього коло. Задайте радіус R. Тепер уявіть, що дан деякий n-кутник. Якщо точки його кутів лежать на окружності і рівні один одному, то сторони можна знайти за формулою: a = 2R • sinalpha-: 2.

Знаходження числа сторін вписаного правильного трикутника

Рівносторонній трикутник - це правильний багатокутник. Формули до нього застосовуються ті ж, що і до квадрату, і n-косинці. Трикутник буде вважатися правильним, якщо в нього однакові по довжині сторони. При цьому кути рівні 60 ?. Побудуємо трикутник із заданою довжиною сторін а. Знаючи його медіану і висоту, можна знайти значення його сторін. Для цього будемо використовувати спосіб знаходження через формулу а = х: cosalpha-, де х - медіана або висота. Так як всі сторони трикутника рівні, то отримуємо а = в = с. Тоді вірним буде наступне твердження а = в = с = х: cosalpha-. Аналогічно можна знайти значення сторін в трикутник, але х буде задана висота. При цьому проектуватися вона повинна строго на підставу фігури. Отже, знаючи висоту х, знайдемо сторону а рівнобедреного трикутника за формулою а = в = х: cosalpha-. Після знаходження значення а можна обчислити довжину підстави с. Застосуємо теорему Піфагора. Будемо шукати значення половини підстави c: 2 = radic- (х: cosalpha -) ^ 2 - (х ^ 2) = radic-x ^ 2 (1 - cos ^ 2alpha-): cos ^ 2alpha- = x • tgalpha-. Тоді c = 2xtgalpha-. Ось таким нескладним способом можна знайти число сторін будь-якого вписаного багатокутника.

Обчислення сторін квадрата, вписаного в коло

Як і будь-який інший вписаний правильний багатокутник, квадрат має рівні сторони і кути. До нього застосовуються ті ж формули, що і до трикутника. Обчислити сторони квадрата можна через значення діагоналі. Розглянемо цей спосіб більш детально. Відомо, що діагональ ділить кут навпіл. Спочатку його значення було 90 градусів. Таким чином, після поділу утворюються два прямокутних трикутника. Їх кути при основі будуть рівні 45 градусів. Відповідно кожна сторона квадрата буде дорівнює, тобто: а = в = с = д = е • cosalpha- = еradic-2: 2, де е - це діагональ квадрата, або підстава утворився після ділення прямокутного трикутника. Це не єдиний спосіб знаходження сторін квадрата. Впишемо цю фігуру в коло. Знаючи радіус цієї окружності R, знайдемо сторону квадрата. Будемо обчислювати її наступним чином a4 = Rradic-2. Радіуси правильних багатокутників обчислюють за формулою R = а: 2tg (360^o: 2n), де а - довжина сторони.

Як обчислити периметр n-кутника

Периметром n-кутника називають суму всіх його сторін. Обчислити його нескладно. Для цього необхідно знати значення всіх сторін. Для деяких видів багатокутників існують спеціальні формули. Вони дозволяють знайти периметр набагато швидше. Відомо, що будь правильний багатокутник має рівні сторони. Тому для того, щоб обчислити його периметр, досить знати хоча б одну з них. Формула буде залежати від кількості сторін фігури. Загалом, вона виглядає так: Р = an, де а - значення сторони, а n - кількість кутів. Наприклад, щоб знайти периметр правильного восьмикутника зі стороною 3 см, необхідно помножити її на 8, тобто Р = 3 • 8 = 24 см. Для шестикутника зі стороною 5 см обчислюємо так: Р = 5 • 6 = 30 см. І так для кожного багатокутника.

Знаходження периметра паралелограма, квадрата і ромба

Залежно від того, скільки сторін має правильний багатокутник, обчислюється його периметр. Це набагато полегшує поставлене завдання. Адже на відміну від інших фігур, в цьому випадку не потрібно шукати всі його сторони, достатньо однієї. За цим же принципом знаходимо периметр у чотирикутників, тобто у квадрата і ромба. Незважаючи на те що це різні фігури, формула для них одна Р = 4а, де а - сторона. Наведемо приклад. Якщо сторона ромба або квадрата дорівнює 6 см, то знаходимо периметр наступним чином: Р = 4 • 6 = 24 см. У паралелограма рівні тільки протилежні сторони. Тому його периметр знаходять, використовуючи інший спосіб. Отже, нам необхідно знати довжину а й ширину в фігури. Потім застосовуємо формулу Р = (а + в) • 2. Паралелограм, у якого рівні всі сторони і кути між ними, називається ромб.

Знаходження периметра рівностороннього і прямокутного трикутника

Периметр правильного рівностороннього трикутника можна знайти за формулою Р = 3а, де а - довжина сторони. Якщо вона невідома, її можна знайти через медіану. У прямокутному трикутнику рівне значення мають тільки дві сторони. Підстава можна знайти через теорему Піфагора. Після того як стануть відомі значення всіх трьох сторін, обчислюємо периметр. Його можна знайти, застосовуючи формулу Р = а + в + с, де а і в - рівні сторони, а з - підстава. Нагадаємо, що в трикутник а = в = а, значить, а + в = 2а, тоді Р = 2а + с. Наприклад, сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, знайдемо його основу і периметр. Обчислюємо значення гіпотенузи по теоремі Піфагора з = radic-а² + в² = radic-16 + 16 = radic-32 = 5,65 см. Обчислимо тепер периметр Р = 2 • 4 + 5,65 = 13,65 см.

Як знайти кути правильного багатокутника

Правильний багатокутник зустрічається в нашому житті кожен день, наприклад, звичайний квадрат, трикутник, восьмикутник. Здавалося б, немає нічого простішого, ніж побудувати цю фігуру самостійно. Але це просто тільки на перший погляд. Для того щоб побудувати будь n-кутник, необхідно знати значення його кутів. Але як же їх знайти? Ще вчені старовини намагалися побудувати правильні багатокутники. Вони здогадалися вписати їх в окружності. А потім на ній відзначали необхідні точки, з'єднували їх прямими лініями. Для простих фігур проблема побудови була вирішена. Формули і теореми були отримані. Наприклад, Евклід у своїй знаменитій праці «Початок» займався вирішенням завдань для 3-, 4-, 5-, 6- та 15-кутників. Він знайшов способи їх побудови та знаходження кутів. Розглянемо, як це зробити для 15-кутника. Спочатку необхідно розрахувати суму його внутрішніх кутів. Необхідно використовувати формулу S = 180? (N-2). Отже, нам дано 15-кутник, значить, число n дорівнює 15. Підставляємо відомі нам дані у формулу і отримуємо S = 180? (15 - 2) = 180? х 13 = 2340 ?. Ми знайшли суму всіх внутрішніх кутів 15-кутника. Тепер необхідно отримати значення кожного з них. Всього кутів 15. Робимо обчислення 2340? : 15 = 156 ?. Значить, кожен внутрішній кут дорівнює 156 ?, тепер за допомогою лінійки і циркуля можна побудувати правильний 15-кутник. Але як бути з більш складними n-косинцями? Багато століть вчені билися над вирішенням цієї проблеми. Воно було знайдено тільки лише в 18-му столітті Карлом Фрідріхом Гауссом. Він зміг побудувати 65537-кутник. З цих пір проблема офіційно вважається повністю вирішеною.

Розрахунок кутів n-кутників в радіанах

Звичайно, є кілька способів знаходження кутів багатокутників. Найчастіше їх обчислюють у градусах. Але можна виразити їх і в радіанах. Як це зробити? Необхідно діяти таким чином. Спочатку з'ясовуємо число сторін правильного багатокутника, потім віднімаємо з нього 2. Значить, ми отримуємо значення: n - 2. Помножте знайдену різницю на число п («пі» = 3,14). Тепер залишається тільки розділити отримане твір на число кутів в n-косинці. Розглянемо дані обчислення на прикладі все того ж пятнадцатіугольніка. Отже, число n дорівнює 15. Застосуємо формулу S = п (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 • 13: 15 = 2,72. Це, звичайно ж, не єдиний спосіб розрахувати кут в радіанах. Можна просто розділити розмір кута в градусах на число 57,3. Адже саме стільки градусів еквівалентно одному радіану.

Розрахунок значення кутів в градах

Крім градусів і радіан, значення кутів правильного багатокутника можна спробувати знайти в градах. Робиться це в такий спосіб. Із загальної кількості кутів віднімаємо 2, ділимо отриману різницю на число сторін правильного багатокутника. Знайдений результат множимо на 200. До слова сказати, така одиниця вимірювання кутів, як гради, практично не використовується.

Розрахунок зовнішніх кутів n-кутників

У будь-якого правильного багатокутника, крім внутрішнього, можна обчислити ще й зовнішній кут. Його значення знаходять так само, як і для решти фігур. Отже, щоб знайти зовнішній кут правильного багатокутника, необхідно знати значення внутрішнього. Далі, нам відомо, що сума цих двох кутів завжди дорівнює 180 градусам. Тому обчислення робимо таким чином: 180? мінус значення внутрішнього кута. Знаходимо різницю. Вона і буде дорівнювати значенню суміжного з ним кута. Наприклад, внутрішній кут квадрата дорівнює 90 градусів, значить, зовнішній становитиме 180? - 90? = 90 ?. Як ми бачимо, знайти його нескладно. Зовнішній кут може приймати значення від +180? до, відповідно, -180 ?.