Висота піраміди. Як її знайти?

Піраміда - це багатогранник, в основі якого лежить багатокутник. Всі грані в свою чергу утворюють трикутники, які сходяться в одній вершині. Піраміди бувають трикутними, чотирикутними і так далі. Для того щоб визначити, яка піраміда перед вами, досить порахувати кількість кутів в її основі. Визначення "висота піраміди" дуже часто зустрічається в задачах з геометрії у шкільній програмі. У статті спробуємо розглянути різні способи її знаходження.

Частини піраміди

Кожна піраміда складається з таких елементів:

• бічні грані, які мають по три кути і сходяться в вершіне;
• апофема являє собою висоту, яка опускається з її вершіни;
• вершина піраміди - це точка, яка з'єднує бічні ребра, але при цьому не лежить в площині підстави;
• підстава - це багатокутник, на якому не лежить вершина
• висота піраміди являє собою відрізок, який перетинає вершину піраміди і утворює з її підставою прямий кут.

Як знайти висоту піраміди, якщо відомий її обсяг

Через формулу об'єму піраміди V = (S * h) / 3 (у формулі V - об'єм, S - площа підстави, h - висота піраміди) знаходимо, що h = (3 * V) / S. Для закріплення матеріалу давайте відразу ж вирішимо завдання. У трикутній піраміді площа основи дорівнює 50 см², тоді як її обсяг становить 125 см³. Невідома висота трикутної піраміди, яку нам і необхідно знайти. Тут все просто: вставляємо дані в нашу формулу. Отримуємо h = (3 * 125) / 50 = 7,5 см.

Як знайти висоту піраміди, якщо відома довжина діагоналі і її ребра

Як ми пам'ятаємо, висота піраміди утворює з її підставою прямий кут. А це значить що висота, ребро і половина діагоналі разом утворюють прямокутний трикутник. Багато, звичайно ж, пам'ятають теорему Піфагора. Знаючи два виміри, третю величину знайти буде нескладно. Згадаймо відому теорему asup2- = bsup2- + csup2-, де а - гіпотенуза, а в нашому випадку ребро піраміди- b - перший катет або половина діагоналі і з - відповідно, другий катет, або висота піраміди. З цієї формули csup2- = asup2- - bsup2-.

Тепер задачка: у правильній піраміді діагональ дорівнює 20 см, коли як довжина ребра - 30 см. Необхідно знайти висоту. Вирішуємо: csup2- = 30sup2- - 20sup2- = 900-400 = 500. Звідси з = radic- 500 = близько 22,4.

Як знайти висоту усіченої піраміди

Вона являє собою багатокутник, який має перетин паралельно її основи. Висота усіченої піраміди - це відрізок, який з'єднує два її заснування. Висоту можна знайти у правильної піраміди, якщо будуть відомі довжини діагоналей обох підстав, а також ребро піраміди. Нехай діагональ більшого підстави дорівнює d1, в той час як діагональ меншого підстави - d2, а ребро має довжину - l. Щоб знайти висоту, можна з двох верхніх протилежних точок діаграми опустити висоти на її основу. Ми бачимо, що у нас вийшли два прямокутних трикутника, залишається знайти довжини їх катетів. Для цього з більшої діагоналі віднімаємо меншу і ділимо на 2. Так ми знайдемо один катет: а = (d1-d2) / 2. Після чого по теоремі Піфагора нам залишається лише знайти другий катет, який і є висотою піраміди.

Тепер розглянемо все це справа на практиці. Перед нами завдання. Усічена піраміда має в підставі квадрат, довжина діагоналі більшого підстави дорівнює 10 см, в той час як меншого - 6 см, а ребро дорівнює 4 см. Потрібно знайти висоту. Для початку знаходимо один катет: а = (10-6) / 2 = 2 см. Один катет дорівнює 2 см, а гіпотенуза - 4 см. Виходить, що другий катет або висота буде дорівнює 16-4 = 12, тобто h = radic-12 = близько 3,5 см.