Дійсні числа та їх властивості

Піфагор стверджував, що число лежить в основі світу нарівні з основними стихіями. Платон вважав, що число пов'язує феномен і ноумен, допомагаючи пізнавати, порівнювати і робити висновки. Арифметика походить від слова "аріфмос" - число, початок почав в математиці. Ним можна описати будь-який об'єкт - від елементарного яблука до абстрактних просторів.

Потреби як фактор розвитку

На початкових етапах становлення суспільства потреби людей обмежувалися необхідністю вести рахунок - один мішок зерна, два мішки зерна і т. д. Для цього достатньо було натуральних чисел, безліч яких представляє собою нескінченну позитивну послідовність цілих чисел N.

Пізніше, з розвитком математики як науки, виникла необхідність в окремому полі цілих чисел Z - воно включає в себе негативні величини і нуль. Його поява на побутовому рівні було спровоковано тим, що в первинній бухгалтерії необхідно було якось зафіксувати борги і збитки. На науковому рівні негативні числа зробили можливим вирішення найпростіших лінійних рівнянь. Крім іншого, тепер стало можливим зображення тривіальної системи координат, т. К. З'явилася точка відліку.

Наступним кроком стала необхідність введення дробових чисел, так як наука не стояла на місці, все нові й нові відкриття вимагали теоретичної бази для нового поштовху зростання. Так з'явилося поле раціональних чисел Q.

Нарешті, раціональність перестала задовольняти запити, адже всі нові висновки вимагали обґрунтування. З'явилися поле дійсних чисел R, праці Евкліда про неспівмірності деяких величин в силу їх ірраціональності. Тобто давньогрецькі математики позиціонували число не тільки як константу, але і як абстрактну величину, яка характеризується відношенням несумірних величин. Завдяки тому що з'явилися справжні числа, "побачили світ" такі величини, як "пі" та "е", без яких сучасна математика не змогла б відбутися.

Фінальним нововведенням стало комплексне число C. Воно відповіло на ряд запитань і спростувало раніше введені постулати. Через стрімкого розвитку алгебри результат був передбачуваний - маючи дійсні числа, вирішення багатьох завдань було неможливо. Наприклад, завдяки комплексним числам виділилися теорії струн і хаосу, розширилися рівняння гідродинаміки.

Теорія множин. Кантор

Поняття нескінченності в усі часи викликало суперечки, тому що його не можна було ні довести, ні спростувати. У контексті математики, яка оперувала суворо вивіреними постулатами, це проявлялося найбільш явно, тим більше що теологічний аспект все ще мав вагу в науці.

Однак завдяки роботам математика Георга Кантора все з часом встало на свої місця. Він довів, що нескінченних множин існує безліч, і те, що поле R більше поля N, нехай вони обидва і не мають кінця. У середині XIX століття його ідеї гучно називали маренням і злочином проти класичних, непорушних канонів, однак час усе розставив на свої місця.

Основні властивості поля R

Дійсні числа володіють не тільки тими ж властивостями, що і подможества, які в них включені, а й доповнені іншими в силу масшабності своїх елементів:

• Нуль існує і належить полю R. c + 0 = c для будь-якого c з R.
• Нуль існує і належить полю R. c х 0 = 0 для будь-якого c з R.
• Ставлення c: d при d ne- 0 існує і є дійсним для будь-яких c, d з R.
• Поле R впорядковано, тобто якщо c le- d, d le- c, то c = d для будь-яких c, d з R.
• Додавання в поле R є комутативним, тобто c + d = d + c для будь-яких c, d з R.
• Множення в поле R є комутативним, тобто c х d = d х c для будь-яких c, d з R.
• Додавання в поле R є асоціативним, тобто (c + d) + f = c + (d + f) для будь-яких c, d, f з R.
• Множення в поле R асоціативно, тобто (c х d) х f = c х (d х f) для будь-яких c, d, f з R.
• Для кожного числа з поля R існує йому протилежне, таке що c + (-c) = 0, де c, -c з R.
• Для кожного числа з поля R існує йому протилежне, таке що c х c^-1 = 1, де c, c^-1 з R.
• Одиниця існує і належить R, так що c х 1 = c, для будь-якого c з R.
• Має силу розподільний закон, так що c х (d + f) = c х d + c х f, для будь-яких c, d, f з R.
• У полі R нуль НЕ дорівнює одиниці.
• Поле R є транзитивним: якщо c le- d, d le- f, то c le- f для будь-яких c, d, f з R.
• У полі R порядок і додавання взаємопов'язані: якщо c le- d, то c + f le- d + f для будь-яких c, d, f з R.
• У полі R порядок і множення взаємопов'язані: якщо 0 le- c, 0 le- d, то 0 le- c х d для будь-яких c, d з R.
• Як негативні, так і позитивні дійсні числа неперервні, тобто для будь-яких c, d з R знайдеться таке f з R, що c le- f le- d.

Модуль в поле R

Дійсні числа включають в себе таке поняття, як модуль. Позначається він як | f | для будь-якого f з R. | f | = f, якщо 0 le- f і | f | = -f, якщо 0> f. Якщо розглядати модуль як геометричну величину, то він являє собою пройдену відстань - неважливо, "пройшли" ви за нуль в мінус або вперед до плюса.

Комплексні і дійсні числа. Що спільного і в чому відмінності?

За великим рахунком, комплексні та дійсні числа - це одне і те ж, хіба що до першого приєдналася уявна одиниця i, квадрат якої дорівнює -1. Елементи полів R і С можна представити у вигляді такої формули:

• c = d + f х i, де d, f належать полю R, а i - уявна одиниця.

Щоб отримати c з R в даному випадку f просто вважають рівним нулю, тобто залишається тільки дійсна частина числа. У силу того що поле комплексних чисел володіє тим же набором властивостей, що і поле дійсних, f х i = 0, якщо f = 0.

Касаемо практичних відмінностей, то, наприклад, в поле R квадратне рівняння не вирішується, якщо дискримінант від'ємний, тоді як поле C не накладає подібне обмеження завдяки введенню уявної одиниці i.

Підсумки

«Цеглина» аксіом і постулатів, на яких базується математика, що не змінюються. На частину з них у зв'язку зі збільшенням інформації та введенням нових теорій кладуться наступні "цеглини", які в перспективі можуть стати основою для чергового кроку. Наприклад, натуральні числа, незважаючи на те що є підмножиною дійсного поля R, не втрачають своєї актуальності. Саме на них грунтується вся елементарна арифметика, з якої починається пізнання людиною світу.

З практичної точки зору дійсні числа виглядають як пряма. На ній можна вибрати напрямок, позначити початок відліку і крок. Пряма складається з нескінченного числа точок, кожній з яких відповідає єдине дійсне число, незалежно від того, раціональне воно чи ні. З опису ясно, що мова йде про поняття, на якому будується як математика в цілому, так і математичний аналіз зокрема.