Комплексні числа. Значення і еволюція «уявних величин»
Числа - основні математичні об'єкти, необхідні для різних обчислень і розрахунків. Сукупність натуральних, цілих, раціональних і ірраціональних цифрових значень утворює безліч так званих дійсних чисел. Але існує ще й досить незвичайна категорія - комплексні числа, визначені Рене Декартом як «уявні величини». А один з провідних математиків вісімнадцятого століття Леонард Ейлер запропонував позначати їх літерою i від французького слова imaginare (уявний). Що ж таке комплексні числа?
Так називаються вирази виду a + bi, в якому a і b є дійсними числами, а i являє собою цифровий показник особливого значення, квадрат якого дорівнює -1. Операції над комплексними числами здійснюються за тими ж правилами, що й різні математичні дії над многочленами. Дана математична категорія не висловлює результати будь-яких вимірювань або обчислень. Для цього цілком достатньо дійсних чисел. Для чого ж тоді вони взагалі потрібні?
Комплексні числа, як математичне поняття, необхідні через те, що деякі рівняння з дійсними коефіцієнтами не мають рішення в області «звичайних» чисел. Отже, для розширення сфери рішення нерівностей виникла необхідність введення нової математичної категорії. Комплексні числа, що має головним чином абстрактне теоретичне значення, дозволяють вирішувати такі рівняння, як х2 +1 = 0. Слід зауважити, що, незважаючи на всю свою уявну формальність, ця категорія чисел досить активно і широко використовується, наприклад, для вирішення різних практичних задач теорії пружності, електротехніки, аеро- і гідромеханіки, атомної фізики та інших наукових дисциплін.
Модуль і аргумент комплексного числа застосовуються при побудові графіків. Таку форму записи називають тригонометричної. Крім того, геометрична інтерпретація даних чисел ще більше розширила сферу їх застосування. Стало можливим використовувати їх для різних картографічних обчислень.
Математика пройшла довгий шлях від найпростіших натуральних чисел до складних комплексних систем та їх функцій. На цю тему можна написати окремий підручник. Тут ми розглянемо лише деякі еволюційні моменти теорії чисел, щоб стали зрозумілі всі історичні та наукові передумови появи даної математичної категорії.
Давньогрецькими математиками вважалися «справжніми» виключно натуральні числа, які можна використовувати для підрахунку чого-небудь. Вже у другому тисячолітті до н. е. стародавніми єгиптянами і вавилонянами в різноманітних практичних розрахунках активно застосовувалися дробу. Наступною важливою віхою розвитку математики стала поява негативних чисел в Стародавньому Китаї за двісті років до нашої ери. Вони також застосовувалися давньогрецьким математиком Діофантом, якому були відомі правила найпростіших операцій над ними. За допомогою негативних чисел стало можливим описувати різні зміни величин не тільки в позитивній площині.
У сьомому столітті нашої ери було точно встановлено, що квадратні корені позитивних чисел завжди мають два значення - крім позитивного, ще й негативне. З останнього витягти квадратний корінь звичайними алгебраїчними методами того часу вважалося неможливим: не існує такого значення х, щоб х2 = - 9. Довгий час це не мало особливого значення. І тільки в шістнадцятому столітті, коли з'явилися і стали активно вивчатися кубічні рівняння, виникла необхідність вилучення квадратного кореня з негативних чисел, оскільки у формулі для вирішення даних виразів містяться не тільки кубічні, але ще й квадратні корені.
Така формула безвідмовна, якщо рівняння має не більше одного дійсного кореня. У разі ж наявності в рівнянні трьох дійсних коренів при їх лікуванні виходило число з від'ємним значенням. Ось і виходило, що шлях до вилучення трьох коренів пролягає через неможливу з позицій математики того часу операцію.
Для пояснення отриманого парадоксу італійським алгебраїстом Дж. Кардано було запропоновано ввести нову категорію чисел незвичайної природи, які отримали назву комплексних. Цікаво те, що сам Кардано вважав їх марними і всіляко прагнув уникнути застосування ним же запропонованої математичної категорії. Але вже в 1572 році з'явилася книга іншого італійського алгебраиста Бомбелли, де були детально викладені правила операцій над комплексними числами.
Протягом усього сімнадцятого століття тривало обговорення математичної природи даних чисел і можливостей їх геометричного тлумачення. Також поступово розвивалася і вдосконалювалася техніка роботи з ними. І на рубежі 17-го і 18-го століть була створена загальна теорія комплексних чисел. Величезний внесок у розвиток і вдосконалення теорії функцій комплексних змінних був внесений російськими і радянськими вченими. Н. І. Мусхелішвілі займався її додатком до проблем теорії пружності, Келдиш і Лаврентьєв знайшли застосування комплексним числам в області гідро- і аеродинаміки, а Владимиров і Боголюбов - в квантової теорії поля.