Подільники і кратні числа

Тема «Кратні числа» вивчається в 5 класі загальноосвітньої школи. Її метою є вдосконалення письмових та усних навичок математичних обчислень. На цьому уроці вводяться нові поняття - «кратні числа» і «подільники», відпрацьовується техніка знаходження дільників і кратних натурального числа, вміння знаходити НОК різними способами.

Ця тема є дуже важливою. Знання з неї можна застосувати при вирішенні прикладів з дробом. Для цього потрібно знайти спільний знаменник шляхом розрахунку найменшого спільного кратного (НОК).

Кратним А вважається ціле число, яке ділиться на А без залишку.

18: 2 = 9

Кожне натуральне число має нескінченну кількість кратних йому чисел. Найменшим вважається воно саме. Кратне не може бути менше самого числа.

Завдання

Потрібно довести, що число 125 кратно числу 5. Для цього потрібно перше число розділити на друге. Якщо 125 ділиться на 5 без залишку, то відповідь позитивна.

Всі натуральні числа можна розділити на 1. Кратне є дільником для себе самого.

Як ми знаємо, числа при діленні називаються «ділене», «дільник», «приватне».

27: 9 = 3,

де 27 - ділене, 9 - дільник, 3 - приватне.

Числа, кратні 2, - це ті, які при діленні на два не утворюють залишку. До них відносяться всі парні.

Числа, кратні 3, - це такі, які без залишку діляться на 3 (3, 6, 9, 12, 15 ...).

Наприклад, 72. Це число кратно числу 3, тому що ділиться на 3 без залишку (як відомо, число ділиться на 3 без залишку, якщо сума його цифр ділиться на 3)

сума 7 + 2 = 9- 9: 3 = 3.

Чи є число 11 кратним 4?

11: 4 = 2 (залишок 3)

Відповідь: не є, так як є залишок.

Спільне кратне двох або більше цілих чисел - це таке, яке ділиться на ці числа без залишку.

К (8) = 8, 16, 24 ...

К (6) = 6, 12, 18, 24 ...

К (6,8) = 24

НОК (найменше спільне кратне) знаходять наступним способом.

Для кожного числа необхідно окремо виписати в рядок кратні числа - аж до перебування однакового.

НОК (5, 6) = 30.

Даний спосіб застосовується для невеликих чисел.

При розрахунку НОК зустрічаються особливі випадки.

1. Якщо необхідно знайти спільне кратне для 2-х чисел (наприклад, 80 і 20), де одне з них (80) ділиться без залишку на інше (20), то це число (80) і є найменше кратне цих двох чисел.

НОК (80, 20) = 80.

2. Якщо два простих числа не мають спільного дільника, то можна сказати, що їх НОК - це добуток цих двох чисел.

НОК (6, 7) = 42.

Розглянемо останній приклад. 6 і 7 по відношенню до 42 є дільниками. Вони ділять кратне число без залишку.

42: 7 = 6

42: 6 = 7

У цьому прикладі 6 і 7 є парними делителями. Їх добуток дорівнює самому кратному числу (42).

6х7 = 42

Число називається простим, якщо ділиться тільки саме на себе або на 1 (3: 1 = 3 3: 3 = 1). Інші називаються складовими.

В іншому прикладі потрібно визначити, чи є 9 делителем по відношенню до 42.

42: 9 = 4 (залишок 6)

Відповідь: 9 не є дільником числа 42, тому що у відповіді є залишок.

Дільник відрізняється від кратного тим, що дільник - це те число, на яке ділять натуральні числа, а кратне саме ділиться на це число.

Найбільший спільний дільник чисел a і b, помножений на їх найменше кратне, дасть твір самих чисел a і b.

А саме: НОД (а, b) х НОК (а, b) = а х b.

Загальні кратні числа для більш складних чисел знаходять наступним способом.

Наприклад, знайти НОК для 168, 180, 3024.

Ці числа розкладаємо на прості множники, записуємо у вигляді твору ступенів:

168 = 2sup3-х3sup1-х7sup1-

180 = 2sup2-х3sup2-х5sup1-

3024 = 2? Х3sup3-х7sup1-

Далі виписуємо всі представлені підстави ступенів з найбільшими показниками і перемножуємо їх:

2? Х3sup3-х5sup1-х7sup1- = 15120

НОК (168, 180, 3024) = 15120.