Властивості ступеня

Зведення числа в натуральну ступінь означає його безпосереднє повторення власним співмножником в натуральне число разів. Число, що повторюється в якості сомножителя - це підстава ступеня, а число, яке вказує на кількість однакових множників, називають показником ступеня. Отриманий результат виконаних дій і є ступінь. Наприклад, три в шостого ступеня означає повторення числа три у вигляді множника шість разів.

Підставою мірою може виступати будь-яке число, відмінне від нуля.

Друга і третя ступені числа мають спеціальні назви. Це, відповідно, квадрат і куб.

За першу ступінь числа приймають саме ж це число.

Для позитивних чисел також визначено ступінь, що має раціональний показник. Як всім відомо, будь-яке раціональне число записується у вигляді дробу, чисельник якого є цілим, знаменник ж - натуральним, тобто цілим позитивним, відмінним від одиниці.

Ступінь з раціональним показником представляє з себе корінь ступеня, рівної знаменника показника ступеня, а подкоренное вираз - це підстава ступеня, зведене в ступінь, рівну чисельнику. Наприклад: три в 4/5 дорівнює кореню п'ятого ступеня з трьох у четвертій.

Відзначимо деякі властивості, що випливають безпосередньо з розглянутого визначення:

• будь-яке позитивне число в раціональній мірою - позитивно;

• значення ступеня з раціональним показником не залежить від форми його запісі;

• якщо підстава негативне, то раціональна ступінь цього числа не визначена.

При позитивному підставі властивості ступеня вірні незалежно від показника.

Властивості степеня з натуральним показником:

1. Множачи ступеня, що мають однакові підстави, підстава залишають без зміни і складають показники. Наприклад: при множенні трьох в п'ятого ступеня на три в сьомий отримують три в дванадцятому ступені (5 + 7 = 12).

2. При розподілі ступенів, що мають однакові підстави, їх залишають без зміни, а показники вичитують. Наприклад: при діленні трьох у восьмий на три в п'ятого ступеня отримують три в квадраті (8-5 = 3).

3. Коли ступінь зводять у ступінь, підставу залишають без зміни, а показники перемножують. Наприклад: при зведенні 3 в п'ятому в сьому отримують 3 в тридцять п'ятому (5х7 = 35).

4. Щоб звести твір в ступінь, в ту ж зводиться кожен з множників. Наприклад: при зведенні твори 2х3 в п'ятому отримують твір два в п'ятому на три в п'ятому.

5. Щоб звести дріб в ступінь, в ту ж ступінь зводять чисельник і знаменник. Наприклад: при зведенні 2/5 в п'ятому отримують дріб, у чисельнику якого - два у п'ятій, в знаменнику - п'ять у п'ятій.

Зазначені властивості мірі справедливі і для дрібних показників.

Властивості степеня з раціональним показником

Введемо деякі визначення. Будь-яке відмінне від 0 дійсне число, зведене в нульову, дорівнює одиниці.

Будь-яке відмінне від 0 дійсне число, зведене в ступінь з негативним цілим показником - це дріб з чисельником одиниця і знаменником, рівним ступеня того ж числа, але має протилежний показник.

Доповнимо властивості ступеня кількома новими, які стосуються раціональних показників.

Ступінь з раціональним показником не змінюється при множенні або діленні чисельника і знаменника його показника на нерівне нулю одне і те ж число.

При підставі більше одиниці:

• якщо показник позитивний, то ступінь більше 1;
• при негативному - менше одиниці.

При підставі менше одиниці, навпаки:

• якщо показник позитивний, то ступінь менше едініци;
• при негативному - більше 1.

Коли показник ступеня зростає, то:

• росте сама ступінь, якщо підстава більше едініци;

• убуває, якщо підстава менше одиниці.