Правильні багатогранники: елементи, симетрія і площа

Геометрія прекрасна тим, що, на відміну від алгебри, де не завжди зрозуміло, що і навіщо вважаєш, дає наочність об'єкта. Цей дивовижний світ різних тіл прикрашають собою правильні багатогранники.

Загальні відомості про правильні многогранниках

На думку багатьох, правильні багатогранники, або як їх ще називають Платонова тіла, володіють неповторними властивостями. З цими об'єктами пов'язано кілька наукових гіпотез. Коли починаєш вивчати дані геометричні тіла, розумієш, що практично нічого не знаєш про таке поняття, як правильні багатогранники. Презентація цих об'єктів в школі не завжди проходить цікаво, тому багато навіть і не пам'ятають, як вони називаються. У пам'яті більшості людей залишається тільки куб. Жодні тіла в геометрії не володіють такою досконалістю, як правильні багатогранники. Всі назви цих геометричних тіл відбулися із Стародавньої Греції. Вони означають кількість граней: тетраедр - чотиригранний, гексаедр - шестигранний, октаедр - восьмигранний, додекаедр - дванадцятигранний, ікосаедр - двадцятигранні. Всі ці геометричні тіла займали найважливіше місце в концепції Платона про світобудову. Чотири з них уособлювали стихії або сутності: тетраедр - вогонь, ікосаедр - воду, куб - землю, октаедр - повітря. Додекаедр втілював все суще. Він вважався головним, оскільки був символом світобудови.

Узагальнення поняття многогранника

Многогранником є сукупність кінцевого числа багатокутників така, що:

• кожна зі сторін будь-якого з багатокутників є одночасно і стороною тільки одного іншого багатокутника за тією ж стороні;
• від кожного з багатокутників можна дійти до інших переходячи по суміжних з ним багатокутників.

Багатокутники, складові багатогранник, являють собою його грані, а їх боку - ребра. Вершинами багатогранників є вершини багатокутників. Якщо під поняттям багатокутник розуміють плоскі замкнуті ламані, то приходять до одного визначення багатогранника. У тому випадку, коли під цим поняттям мають на увазі частину площини, що обмежена ламаними лініями, то слід розуміти поверхню, що складається з багатокутних шматочків. Опуклим многогранником називають тіло, що лежить по одну сторону площині, прилеглої до його грані.

Інше визначення багатогранника і його елементів

Многогранником називають поверхню, що складається з багатокутників, яка обмежує геометричне тіло. Вони бувають:

• невипуклимі;
• опуклими (правильні і неправильні).

Правильний багатогранник - це опуклий багатогранник з максимальною симетрією. Елементи правильних багатогранників:

• тетраедр: 6 ребер, 4 грані, 5 вершін;
• гексаедр (куб): 12, 6, 8;
• додекаедр: 30, 12, 20;
• октаедр: 12, 8, 6
• ікосаедр: 30, 20, 12.

Теорема Ейлера

Вона встановлює зв'язок між числом ребер, вершин і граней, топологічно еквівалентних сфері. Складаючи кількість вершин і граней (В + Г) у різних правильних багатогранників і порівнюючи їх з кількістю ребер, можна встановити одну закономірність: сума кількості граней і вершин дорівнює числу ребер (Р), збільшеному на 2. Можна вивести просту формулу:

• В + Г = Р + 2.

Ця формула вірна для всіх опуклих багатогранників.

Основні визначення

Поняття правильного багатогранника неможливо описати одним реченням. Воно більш багатозначне і об'ємне. Щоб тіло було визнано таким, необхідно, щоб воно відповідало ряду визначень. Так, геометричне тіло буде правильним многогранником при виконанні таких умов:

• воно випуклое;
• однакову кількість ребер сходиться в кожній з його вершін;
• всі грані його - правильні багатокутники, рівні один другу;
• всі двогранні кути його рівні.

Властивості правильних багатогранників

Існує 5 різних типів правильних багатогранників:

1. Куб (гексаедр) - у нього плоский кут при вершині становить 90 °. Він має 3-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини становить 270 °.
2. Тетраедр - плоский кут при вершині - 60 °. Він має 3-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини - 180 °.
3. Октаедр - плоский кут при вершині - 60 °. Він має 4-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини - 240 °.
4. Додекаедр - плоский кут при вершині 108 °. Він має 3-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини - 324 °.
5. Ікосаедр - у нього плоский кут при вершині - 60 °. Він має 5-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини становить 300 °.

Площа правильних багатогранників

Площа поверхні цих геометричних тіл (S) обчислюється, як площа правильного багатокутника, помножена на кількість його граней (G):

• S = (a: 2) х 2G ctg pi- / p.

Обсяг правильного багатогранника

Ця величина обчислюється шляхом множення обсягу правильної піраміди, в основі якої знаходиться правильний багатокутник, на число граней, а висота її є радіусом вписаної сфери (r):

• V = 1: 3rS.

Обсяги правильних багатогранників

Як і будь-яке інше геометричне тіло, правильні багатогранники мають різні обсяги. Нижче представлені формули, за якими можна їх вирахувати:

• тетраедр: alpha- х 3radic-2: 12;
• октаедр: alpha- х 3radic-2: 3;
• ікосаедр- alpha- х 3;
• гексаедр (куб): 5 х alpha- х 3 х (3 + radic-5): 12;
• додекаедр: alpha- х 3 (15 + 7radic-5): 4.

Елементи правильних багатогранників

Гексаедр і октаедр є дуальними геометричними тілами. Іншими словами, вони можуть вийти один з одного в тому випадку, якщо центр ваги грані одного приймається за вершину іншого, і навпаки. Також дуальними є ікосаедр і додекаедр. Сам собі дуальний тільки тетраедр. За способом Евкліда можна отримати додекаедр з гексаедр за допомогою побудови «дахів» на гранях куба. Вершинами тетраедра будуть будь-які 4 вершини куба, які не суміжні попарно по ребру. З гексаедр (куба) можна отримати і інші правильні багатогранники. Незважаючи на те що правильних багатокутників є незліченна безліч, правильних багатогранників існує всього 5.

Радіуси правильних багатокутників

З кожним з цих геометричних тіл пов'язані 3 концентричні сфери:

• описана, що проходить через його вершіни;
• вписана, що стосується кожної його грані в центрі її;
• серединна, що стосується всіх ребер в середині.

Радіус сфери описаної розраховується за такою формулою:

• R = a: 2 х tg pi- / g х tg theta-: 2.

Радіус сфери вписаною обчислюється за формулою:

• R = a: 2 х ctg pi- / p х tg theta-: 2,

де theta- - двухгранний кут, який знаходиться між суміжними гранями.

Радіус сфери серединної можна обчислити за такою формулою:

• rho- = a cos pi- / p: 2 sin pi- / h,

де h величина = 4,6, 6,10 або 10. Ставлення описаних і вписаних радіусів симетрично щодо p і q. Воно розраховується за формулою:

• R / r = tg pi- / p х tg pi- / q.

Симетрія багатогранників

Симетрія правильних багатогранників викликає основний інтерес до цих геометричних тіл. Під нею розуміють такий рух тіла в просторі, який залишає одне і те ж кількість вершин, граней і ребер. Іншими словами, під дією перетворення симетрії ребро, вершина, грань або зберігає своє початкове положення, або переміщається в початкове положення іншого ребра, інший вершини або грані.

Елементи симетрії правильних багатогранників властиві всім видам таких геометричних тіл. Тут мова ведеться про тотожній перетворенні, яке залишає будь-яку з точок в початковому положенні. Так, при повороті багатокутної призми можна отримати кілька симетрій. Будь-яка з них може бути представлена як добуток відображень. Симетрію, яка є твором парного кількості віддзеркалень, називають прямою. Якщо ж вона є твором непарної кількості віддзеркалень, то її називають зворотною. Таким чином, всі повороти навколо прямої являють собою пряму симетрію. Будь-яке відображення многогранника - це зворотна симетрія.

Щоб краще розібратися в елементах симетрії правильних багатогранників, можна взяти приклад тетраедра. Будь-яка пряма, яка проходитиме через одну з вершин і центр цієї геометричної фігури, буде проходити і через центр грані, протилежної їй. Кожен з поворотів на 120 і 240 ° навколо прямої належить до множинного числа симетрій тетраедра. Оскільки у нього по 4 вершини і межі, то виходить всього вісім прямих симетрій. Будь-яка з прямих, що проходять через середину ребра і центр цього тіла, проходить через середину його протилежної ребра. Будь поворот на 180 °, званий півобертом, навколо прямої є симетрією. Оскільки у тетраедра є три пари ребер, то вийде ще три прямі симетрії. Виходячи з вищевикладеного, можна зробити висновок, що загальне число прямих симетрій, і в тому числі тотожне перетворення, буде доходити до дванадцяти. Інших прямих симетрій у тетраедра не існує, але при цьому у нього є 12 зворотних симетрій. Отже, тетраедр характеризується всього 24 симетріями. Для наочності можна побудувати модель правильного тетраедра з картону і переконатися, що це геометричне тіло дійсно має всього 24 симетрії.

Додекаедр і ікосаедр - найбільш близькі до сфери тіла. Ікосаедр володіє найбільшим числом граней, найбільшим двогранним кутом і щільніше всього може притиснутися до вписаною сфері. Додекаедр має найменшим кутовим дефектом, найбільшим тілесним кутом при вершині. Він може максимально заповнити свою описану сферу.

Розгортки багатогранників

Правильні багатогранники розгортки, яких ми всі склеювали в дитинстві, мають багато понять. Якщо є сукупність багатокутників, кожна сторона яких ототожнена з тільки однією стороною багатогранника, то ототожнення сторін має відповідати двом умовам:

• від кожного багатокутника можна перейти по багатокутників, які мають ототожнення сторону;
• ототожнюються сторони повинні мати однакову довжину.

Саме сукупність багатокутників, які задовольняють ці умови, і називається розгорткою багатогранника. Кожне з цих тіл має їх кілька. Так, наприклад, у куба їх налічується 11 штук.