Невизначений інтеграл. Обчислення невизначених інтегралів

Одним з фундаментальних розділів математичного аналізу є інтегральне числення. Охоплює воно найширше поле об'єктів, де перший - це невизначений інтеграл. Позиціонувати його варто як ключ, що ще в середній школі розкриває все більша кількість перспектив і можливостей, які описує вища математика.

Поява

На перший погляд інтеграл здається донезмоги сучасним, актуальним, однак на практиці виявляється, що з'явився він ще в 1800 році до нашої ери. Батьківщиною офіційно вважається Єгипет, так як до нас не дійшли більш ранні докази його існування. Його, в силу браку інформації, весь цей час позиціонували просто як явище. Він зайвий раз підтверджував рівень розвитку науки у народів тих часів. Нарешті були знайдені праці давньогрецьких математиків, датуються 4 століттям до нашої ери. У них описувався метод, де застосовувався невизначений інтеграл, суть якого полягала в пошуку об'єму або площі криволінійної фігури (тривимірні і двомірні площині відповідно). Принцип обчислення базувався на розподілі вихідної фігури на нескінченно малі складові, за умови що обсяг (площа) їх уже відомий. З плином часу метод розрісся, Архімед використовував його для пошуку площі параболи. Аналогічні обчислення в той же час проводили вчені і в Стародавньому Китаї, причому вони були абсолютно незалежні від грецьких побратимів по науці.

Розвиток

Наступним проривом в XI столітті вже нашої ери стали роботи арабського вченого "універсала" Абу Алі аль-Басрі, який розсунув кордони вже відомого, вивівши на основі інтеграла формули для обчислення сум рядів і сум ступенів від першої до четвертої, застосовуючи для цього відомий нам метод математичної індукції.
Уми сучасності захоплюються тим, як древні єгиптяни створювали дивовижні пам'ятки архітектури, не маючи ніяких особливих пристосувань, за винятком хіба що своїх рук, але хіба не є сила розуму вчених того часу такою ж дивом? В порівнянні з нинішніми часами їхнє життя здається мало не первісної, однак рішення невизначених інтегралів виводилося повсюдно і використовувалося на практиці для подальшого розвитку.

Черговий крок стався в XVI столітті, коли італійський математик Кавальєрі вивів метод неподільних, який підхопив П'єр Ферма. Саме ці дві особистості поклали основу сучасного інтегрального числення, яке відоме на даний момент. Вони зв'язали поняття диференціювання та інтегрування, які раніше сприймалися як автономні одиниці. За великим рахунком, математика тих часів була роздроблена, частки висновків існували самі по собі, маючи обмежену сферу застосування. Шлях об'єднання і пошуку точок дотику був єдиним вірним на той момент, завдяки йому сучасний математичний аналіз отримав можливість рости і розвиватися.

З плином часу змінювалося все, і позначення інтеграла в тому числі. За великим рахунком, позначали його вчені хто на що здатний, наприклад, Ньютон використовував квадратний значок, в який поміщав інтегруються функцію або ж просто ставив поруч. Цей різнобій тривав аж до XVII століття, коли знаковий для всієї теорії математичного аналізу вчений Готфрід Лейбніц ввів такий звичний нам символ. Витягнута "S" дійсно грунтується на цій букві латинського алфавіту, так як позначає суму первісних. Назва ж інтеграл отримав завдяки Якобу Бернуллі через 15 років.

Формальне визначення

Невизначений інтеграл безпосередньо залежить від визначення первообразной, тому розглянемо її в першу чергу.

Первісна - це функція, зворотна похідної, на практиці її ще називають примітивною. Інакше: первообразная від функції d - це така функція D, похідна якої дорівнює v <=> V '= v. Пошук первообразной є обчислення невизначеного інтеграла, а сам цей процес називається інтегруванням.

Приклад:

Функція s (y) = y³, а її первообразная S (y) = (y⁴/ 4).

Безліч всіх первісних аналізованої функції - це і є невизначений інтеграл, позначається він таким чином: int-v (x) dx.

У силу того що V (x) - це лише деяка первісна вихідної функції, має місце вираз: int-v (x) dx = V (x) + C, де С - константа. Під довільної сталої розуміється будь константа, так як її похідна дорівнює нулю.

Властивості

Властивості, якими володіє невизначений інтеграл, базуються на основному визначенні та властивостях похідних.
Розглянемо ключові моменти:

• інтеграл з похідною первообразной є сама первообразная плюс довільна константа З <=> int-V '(x) dx = V (x) + C;
• похідна від інтеграла функції є вихідна функція <=> (Int-v (x) dx) '= v (x) ;
• константа виноситься з під знака інтеграла <=> int-kv (x) dx = kint-v (x) dx, де k - проізвольно;
• інтеграл, який береться від суми, тотожно дорівнює сумі інтегралів <=> int- (v (y) + w (y)) dy = int-v (y) dy + int-w (y) dy.

З останніх двох властивостей можна зробити висновок, що невизначений інтеграл є лінійним. Завдяки цьому маємо: int- (kv (y) dy + int- lw (y)) dy = kint-v (y) dy + lint-w (y) dy.

Для закріплення розглянемо приклади розв'язання невизначених інтегралів.

Необхідно знайти інтеграл int- (3sinx + 4cosx) dx:

• int- (3sinx + 4cosx) dx = int-3sinxdx + int-4cosxdx = 3int-sinxdx + 4int-cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

З прикладу можна зробити висновок: не знаєте, як вирішувати невизначені інтеграли? Просто знайдіть всі первісні! А ось принципи пошуку розглянемо нижче.

Методи і приклади

Для того щоб вирішити інтеграл, можна вдатися до наступних способів:

• скористатися готовою табліцей;
• інтегрувати по частям;
• інтегрувати шляхом заміни переменной;
• підведення під знак диференціала.

Таблиці

Самий простий і приємний спосіб. На даний момент математичний аналіз може похвалитися досить обширними таблицями, в яких прописані основні формули невизначених інтегралів. Іншими словами, є шаблони, виведені до вас і для вас, залишається лише скористатися ними. Ось перелік основних табличних позицій, до яких можна вивести практично кожен приклад, який має рішення:

• int-0dy = C, де С - константа;
• int-dy = y + C, де С - константа;
• int-yⁿdy = (y^{n + 1}) / (N + 1) + C, де С - константа, а n - відмінне від одиниці число;
• int- (1 / y) dy = ln | y | + C, де С - константа;
• int-e^ydy = e^y + C, де С - константа;
• int-k^ydy = (k^y/ Ln k) + C, де С - константа;
• int-cosydy = siny + C, де С - константа;
• int-sinydy = -cosy + C, де С - константа;
• int-dy / cos²y = tgy + C, де С - константа;
• int-dy / sin²y = -ctgy + C, де С - константа;
• int-dy / (1 + y²) = Arctgy + C, де С - константа;
• int-chydy = shy + C, де С - константа;
• int-shydy = chy + C, де С - константа.

При необхідності зробити пару кроків, привести підінтегральний вираз до табличного вигляду і насолоджуватися перемогою. Приклад: int-cos (5x -2) dx = 1 / 5int-cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 х sin (5x - 2) + C.

За рішенням видно, що для табличного прикладу подинтегральних висловом не вистачає множника 5. Ми додаємо його, паралельно з цим множачи на 1/5 для того, щоб загальний вираз не змінилося.

Інтегрування по частинах

Розглянемо дві функції - z (y) і x (y). Вони повинні бути безперервно діфференцируєми на всій області визначення. По одному з властивостей диференціювання маємо: d (xz) = xdz + zdx. Проінтегрувавши обидві частини рівності, отримуємо: int-d (xz) = int- (xdz + zdx) => zx = int-zdx + int-xdz.

Переписавши отримане рівність, отримуємо формулу, яка описує метод інтегрування частинами: int-zdx = zx - int-xdz.

Навіщо вона потрібна? Справа в тому, що деякі приклади є можливість спростити, умовно кажучи, звести int-zdx до int-xdz, якщо останній близький до табличній формі. Також дану формулу можна застосовувати не один раз, домагаючись оптимального результату.

Як вирішувати невизначені інтеграли даними способом:

• необхідно обчислити int- (s + 1) e^2sds

int- (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2int-e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C-

• необхідно обчислити int-lnsds

int-lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - int-s х ds / s = slns - int-ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Заміна змінної

Цей принцип рішення невизначених інтегралів не менше затребуваний, ніж два попередніх, хоч і складніше. Метод полягає в наступному: нехай V (x) - інтеграл від якоїсь функції v (x). У тому випадку, якщо сам по собі інтеграл в прикладі попадається складносурядний, велика ймовірність заплутатися і піти неправильним шляхом рішення. Щоб уникнути цього практикується перехід від змінної x до z, при якому загальний вираз візуально спрощується при збереженні залежності z від x.

На математичному мові це виглядає наступним чином: int-v (x) dx = int-v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y^-1(X)), де x = y (z) - підстановка. І, звичайно ж, зворотна функція z = y^-1(X) повноцінно описує залежність і взаємозв'язок змінних. Важливе зауваження - диференціал dx обов'язково замінюється новим диференціалом dz, так як заміна змінної у невизначеному інтегралі увазі заміну її скрізь, а не тільки в подинтегральних вираженні.

Приклад:

• необхідно знайти int- (s + 1) / (s² + 2s - 5) ds

Застосуємо підстановку z = (s + 1) / (s²+2s-5). Тоді dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (S + 1) ds = dz / 2. У підсумку отримуємо наступне вираз, який дуже легко вирахувати:

int- (s + 1) / (s²+2s-5) ds = int- (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s²+2s-5 | + C-

• необхідно знайти інтеграл int-2^se^sdx

Для вирішення перепишемо вираз в такій формі:

int-2^se^sds = int- (2e)^sds.

Позначимо через a = 2 e (заміною аргументу даний крок не є, це все ще s), наводимо наш, на перший погляд складний, інтеграл, до елементарної табличній формі:

int- (2e)^sds = int-a^sds = a^s / Lna + C = (2e)^s / Ln (2e) + C = 2^se^s / Ln (2 + lne) + C = 2^se^s / (Ln2 + 1) + C.

Підведення під знак диференціала

За великим рахунком, даний метод невизначених інтегралів - брат-близнюк принципу заміни змінної, проте є відмінності в процесі оформлення. Розглянемо детальніше.

Якщо int-v (x) dx = V (x) + C і y = z (x), то int-v (y) dy = V (y) + C.

При цьому не можна забувати тривіальних інтегральних перетворень, серед яких:

• dx = d (x + a), де а - будь-яка константа;
• dx = (1 / a) d (ax + b), де а - знову ж константа, але при цьому не дорівнює нулю;
• xdx = 1 / 2d (x² + b) ;
• sinxdx = -d (cosx) ;
• cosxdx = d (sinx).

Якщо розглядати загальний випадок, коли обчислюємо невизначений інтеграл, приклади можна підвести під загальну формулу w '(x) dx = dw (x).

Приклади:

• необхідно знайти int- (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

int- (2s + 3)²ds = 1 / 2int- (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) х ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) х (2s + 3)² + C-

int-tgsds = int-sins / cossds = int-d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Онлайн-допомога

У деяких випадках, виною яким може стати або лінь, або гостра необхідність, можна скористатися онлайн-підказками, а точніше, застосувати калькулятор невизначених інтегралів. Незважаючи на всю видиму складність і спірність інтегралів, рішення їх підпорядковано певним алгоритмом, який будується за принципом "якщо не ..., то ...".

Звичайно, особливо вигадливі приклади такої калькулятор не подужає, так як бувають випадки, при яких рішення доводиться знаходити штучно, "насильно" вводячи ті чи інші елементи в процесі, бо очевидними шляхами результату не досягти. Незважаючи на всю спірність даної заяви, воно вірно, так як математика, в принципі, наука абстрактна, і своїм першочерговим завданням вважає необхідність розширення меж можливостей. Дійсно, за гладким обкатування теоріям вкрай складно рухатися вгору і розвиватися, тому не варто вважати, що приклади розв'язання невизначених інтегралів, які дали ми - це верх можливостей. Однак повернемося до технічної сторони справи. Хоча б для перевірки обчислень можна скористатися сервісами, в яких все було прописано до нас. Якщо виникла потреба в автоматичному обчисленні складного вираження, то ними не обійтися, доведеться вдатися до більш серйозного програмному забезпеченню. Варто звернути увагу в першу чергу на середу MatLab.

Застосування

Рішення невизначених інтегралів на перший погляд здається абсолютно відірваним від реальності, так як складно побачити очевидні площині застосування. Дійсно, безпосередньо їх використовувати ніде не можна, проте вони вважаються необхідним проміжним елементом у процесі виведення рішень, використовуваних на практиці. Так, інтегрування назад диференціювання, завдяки чому активно бере участь у процесі розв'язання рівнянь.
У свою чергу ці рівняння безпосередньо впливають на рішення механічних проблем, обчислення траєкторій і теплопровідності - словом, на все, що становить сьогодення і формує майбутнє. Невизначений інтеграл, приклади якого ми розглянули вище, тривіальний лише на перший погляд, оскільки є базою для здійснення все нових і нових відкриттів.