Числова послідовність: поняття, властивості, способи завдання
Числова послідовність і її межа являють собою одну з найважливіших проблем математики протягом всієї історії існування цієї науки. Постійно поповнюються знання, що формулюються нові теореми й докази - все це дозволяє розглядати дане поняття з нових позицій і під різним кутом зору.
Числова послідовність, відповідно до одним з найпоширеніших визначень, являє собою математичну функцію, основою якої служить безліч натуральних чисел, розташованих згідно тієї чи іншої закономірності.
Ця функція може вважатися певної, якщо відомий закон, відповідно до якого для кожного натурального числа можна чітко визначити дійсне число.
Існує кілька варіантів створення числових послідовностей.
По-перше, ця функція може бути задана так званим «явним» способом, коли є певна формула, за допомогою якої кожен її член може бути визначений простою підстановкою порядкового номера в задану послідовність.
Другий спосіб отримав назву «реккурентная». Його суть полягає в тому, що задаються кілька перших членів числової послідовності, а також спеціальна реккурентная формула, за допомогою якої, знаючи попередній член, можна знайти наступний.
Нарешті, найбільш загальним способом завдання послідовностей є так званий "Аналітичний метод", коли без особливих зусиль можна не тільки виявити той чи інший член під певним порядковим номером, але і, знаючи кілька послідовних членів, прийти до загальної формули даної функції.
Числова послідовність може бути спадної або зростаючій. У першому випадку кожен подальшою її член менше попереднього, а в другому - навпаки, більше.
Розглядаючи дану тему, не можна не торкнутися питання про межі послідовностей. Межею послідовності називається таке число, коли для будь-який, в тому числі для нескінченно малої величини, існує порядковий номер, після якого ухилення наступних один за одним членів послідовності від заданої точки в числовому вигляді стає менше величини, заданої ще при формуванні цієї функції.
Поняття межі числової послідовності активно використовується при проведенні тих чи інших інтегральних та диференціальних числень.
Математичні послідовності володіють цілим набором досить цікавих властивостей.
По-перше, будь-яка числова послідовність є приклад математичної функції, отже, ті властивості, які характерні для функцій, можна сміливо застосовувати і для послідовностей. Найяскравішим прикладом таких властивостей є положення про зростаючих і спадаючих арифметичних рядах, які об'єднуються одним загальним поняттям - монотонні послідовності.
По-друге, існує досить велика група послідовностей, які не можна віднести ні до зростаючих, ні до убутним, - це періодичні послідовності. У математиці ними прийнято вважати ті функції, в яких існує так звана довжина періоду, тобто з певного моменту (n) починає діяти наступне рівність yn = Yn + T, де Т і буде тією самою довжиною періоду.