Основні правила диференціювання, застосовувані в математиці

Для початку варто згадати про те, що таке диференціал і який математичний сенс він несе.

Диференціалом функції називається твір похідної функції від аргументу на диференціал самого аргументу. Математично дане поняття можна записати, як вираз: dy = y '* dx.

У свою чергу, за визначенням похідної функції справедливо рівність y '= lim dx-0 (dy / dx), а з визначення межі - вираз dy / dx = x' + alpha-, де параметром alpha- є нескінченно мала математична величина.

Отже, обидві частини виразу варто помножити на dx, що в підсумку дає dy = y '* dx + alpha- * dx, де dx - це нескінченно мала зміна аргументу, (alpha- * dx) - величина, якою можна знехтувати, тоді dy - приріст функції, а (y * dx) - головна частина приросту або диференціал.

Диференціалом функції називається твір похідної функції на диференціал аргументу.

Тепер варто розглянути основні правила диференціювання, які досить часто використовують в математичному аналізі.

Теорема. Похідна суми дорівнює сумі похідних, отриманих від доданків: (а + с) '= а' + с '.

Аналогічним чином це правило буде діяти і для знаходження похідної різниці.
Наслідком даного правила диференціювання є твердження про те, що похідна від деякого числа доданків дорівнює сумі похідних, отриманих від даних доданків.

Наприклад, якщо необхідно знайти похідну від виразу (а + с-к) ', тоді результатом буде вираз а' + с'-к '.

Теорема. Похідна твори математичних функцій, що диференціюються в точці, дорівнює сумі, що складається з твору першого множника на похідну другого і твори другого множника на похідну першого.

Математично теорема буде записана наступним чином: (a * c) '= а * з' + а '* с. Наслідком теореми є висновок про те, що постійний множник в похідній твори можна виносити за похідну функції.

У вигляді алгебраїчного вираження дане правило буде записано таким чином: (а * с) '= а * з', де а = const.

Наприклад, якщо необхідно знайти похідну виразу (2а3) ', то результатом буде відповідь: 2 * (а3)' = 2 * 3 * 2 = 6 * а2.

Теорема. Похідна відносини функцій дорівнює відношенню між різницею похідною чисельника, помноженої на знаменник, і чисельника, помноженого на похідну знаменника і квадрата знаменника.

Математично теорема буде записана наступним чином: (a / c) '= (а' * с-а * з ') / с².

На закінчення необхідно розглянути правила диференціювання складних функцій.

Теорема. Нехай задана фукция у = ф (х), де х = с (т), тоді функція у, по відношенню до змінної т, називається складною.

Таким чином, в математичному аналізі похідна складної функції трактується, як похідна самої функції, помножена на похідну її подфункции. Для зручності правила диференціювання складних функцій представляють у вигляді таблиці.

При регулярному використанні даної таблиці похідні легко запам'ятовуються. Решта похідні складних функцій можна знайти, якщо застосувати правила диференціювання функцій, які були викладені в теоремах і наслідках до них.