Корінь рівняння - ознайомча інформація

В алгебрі існує поняття двох видів рівностей - тотожності і рівняння. Тотожності - це такі рівності, які здійснимі при будь-яких значеннях букв, в них входять. Рівняння - це теж рівності, але здійснимі вони лише при деяких значеннях вхідних у них букв. Букви за умовою завдання зазвичай бувають нерівноправними. Це означає, що одні з них можуть приймати будь допустимі значення, звані коефіцієнтами (або параметрами), інші ж - їх називають невідомими - приймають значення, які необхідно знайти в процесі вирішення. Як правило, невідомі величини позначають в рівняннях буквами, останніми в латинському алфавіті (Xyz і т.д.), або такими ж буквами, але з індексом (х₁,х₂, і т.д.), а відомі коефіцієнти - першими буквами того ж алфавіту.

За кількістю невідомих виділяють рівняння з одним, двома і декількома невідомими. Таким чином, всі значення невідомих, при яких вирішувалася рівняння перетворюється в тотожність, називаються рішеннями рівнянь. Рівняння можна вважати вирішеним в тому випадку, якщо знайдені всі його рішення або доведено, що воно таких не має. Завдання «вирішити рівняння» на практиці зустрічається часто і означає, що потрібно відшукати корінь рівняння.

Визначення: Корінням рівняння називаються ті значення невідомих з області допустимих, при яких вирішувалася рівняння перетворюється в тотожність.

Алгоритм рішення абсолютно всіх рівнянь однаковий, і сенс його полягає в тому, щоб за допомогою математичних перетворень даний вираз призвести до простішого вигляду.
Рівняння, які мають однакові корені, в алгебрі називаються рівносильними.

Найпростіший приклад: 7х-49 = 0, корінь рівняння х = 7-
х-7 = 0, аналогічно, корінь х = 7, отже, рівняння рівносильні. (В окремих випадках рівносильні рівняння можуть зовсім не мати коренів).

Якщо корінь рівняння одночасно є коренем іншого, більш простого рівняння, отриманого з вихідного шляхом перетворень, то останнє називається наслідком попереднього рівняння.

Якщо їх двох рівнянь одне є наслідком іншого, то вони вважаються рівносильними. Ще їх називають еквівалентними. Наведений вище приклад це ілюструє.

Рішення навіть найпростіших рівнянь на практиці нерідко викликає складності. В результаті рішення можна отримати один корінь рівняння, два і більше, навіть нескінченну кількість - залежить це від виду рівнянь. Є й такі, у яких немає коренів, вони називаються нерозв'язними.

Приклади:
1) 15х -20 = 10 х = 2. Це єдиний корінь рівняння.
2) 7х - y = 0. Рівняння має нескінченну безліч коренів, так як у кожної змінної може бути незліченна кількість значень.
3) х²= - 16. Число, зведене в другу ступінь, завжди дає позитивний результат, тому неможливо відшукати корінь рівняння. Це і є один з нерозв'язних рівнянь, про які йшлося вище.

Правильність рішення перевіряється підстановкою знайдених коренів замість букв і рішенням отриманого прикладу. Якщо тотожність дотримується, рішення вірне.