Паралельні прямі на площині і в просторі

На площині прямі називаються паралельними, якщо у них немає спільних точок, тобто вони не перетинаються. Для позначення паралельності використовують спеціальний значок || (паралельні прямі a || b).

Для прямих, що лежать в просторі, вимоги відсутності спільних точок недостатньо - щоб вони в просторі були паралельними, вони повинні належати одній площині (інакше вони будуть перехресними).

За прикладами паралельних прямих далеко йти не треба, вони супроводжують нас всюди, в кімнаті - це лінії перетину стіни зі стелею і підлогою, на зошитовому аркуші - протилежні краї і т.д.

Цілком очевидно, що, маючи паралельність двох прямих і третю пряму, паралельну одній з перших двох, вона буде паралельна і другий.

Паралельні прямі на площині пов'язані твердженням, яка не доводиться за допомогою аксіом планіметрії. Його приймають як факт, як аксіоми: для будь-якої точки на площині, не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даній. Цю аксіому знає кожен шестикласник.

Її просторове узагальнення, тобто твердження, що для будь-якої точки в просторі, не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даної, легко доводиться за допомогою вже відомої нам аксіоми паралельності на площині.

Властивості паралельних прямих

• Якщо будь-яка з паралельних двох прямих паралельна третьої, то вони взаємно паралельні.

Цією властивістю володіють паралельні прямі і на площині, і в просторі.
Як приклад розглянемо його обгрунтування в стереометрії.

Припустимо паралельність прямих b і з прямою a.

Випадок, коли всі прямі лежать в одній і тій же площині залишимо планіметрії.

Припустимо, a і b належать площині бетта, а гамма - площина, якій належать a і с (за визначенням паралельності в просторі прямі повинні належати одній площині).

Якщо припустити, що площині бетта і гамма різні і відзначити на прямий b з площини бетта якусь точку B, то площина, проведена через точку B і пряму з повинна перетнути площину бетта по прямій (позначимо її b1).

Якби отримана пряма b1 перетинала площину гамма, то, з одного боку, точка перетину повинна була б лежати на a, оскільки b1 належить площині бетта, а з іншого, вона повинна належати і с, оскільки b1 належить третій площині.
Але ж паралельні прямі a і з перетинатися не повинні.

Таким чином, пряма b1 повинна належати площині бетта і при цьому не мати спільних точок з a, отже, згідно аксіомі паралельності, вона збігається з b.
Ми отримали збігається з прямою b пряму b1, яка належить одній і тій же площині з прямою с і при цьому її не перетинає, тобто b і с - паралельні

• Через точку, яка не лежить на заданій прямій, паралельна даній може проходити лише одна єдина пряма.

• Лежать на площині перпендикулярно третьої дві прямі паралельні.

• За умови перетину площини однієї з паралельних двох прямих, цю ж площина перетинає і другу пряма.

• Відповідні і навхрест лежачі внутрішні кути, утворені перетинанням паралельних двох прямих третьою, рівні, сума у утворилися при цьому внутрішніх односторонніх дорівнює 180 °.

Вірні і зворотні твердження, які можна прийняти за ознаки паралельності двох прямих.

Умова паралельності прямих

Сформульовані вище властивості та ознаки являють собою умови паралельності прямих, і їх цілком можна довести методами геометрії. Інакше кажучи, для доказу паралельності двох наявних прямих достатньо довести їх паралельність третьої прямий або рівність кутів, будь то відповідних або навхрест лежачих, і т.п.

Для доказу в основному використовують метод «від протилежного», тобто з допущення, що прямі непаралельні. Виходячи з цього допущення, легко можна показати, що в цьому випадку порушуються задані умови, наприклад, навхрест лежачі внутрішні кути виявляються нерівними, що і доводить некоректність зробленого припущення.